Решить систему. x^3+(xy)^3+y^3=17 x+xy+y=5

(x+y)^3+(xy)^3-3x^2y-3xy^2=(x+y)^3+(xy)^3-3xy(x+y) x+y=t xy=u t+u=5  t=5-u t^3+u^3-3ut=17  (5-u)^3+u^3-3u(5-u)=17 125-u^3-75u+15u^2+u^3+3u^2-15u-17=0 -90u+18u^2+108=0 u^2-5u+6=0 u=2 u=3                       t=3  t=2 x+y=3                 x+y=2 xy=2                   xy=3   нет решения x=1 y=2 x=2 y=1

Преобразуем левую часть первого уравнения: [latex]x^3+(xy)^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)+(xy)^3=\\=(x+y)((x+y)^2-3xy)+(xy)^3[/latex] Сделаем замену [latex]x+y=u;\quad xy=v[/latex]. Система примет вид [latex]\begin{cases}u(u^2-3v)+v^3=17\\ u+v=5\end{cases}[/latex] [latex]\begin{cases}u^3-3uv+v^3=17\\ u+v=5\end{cases}[/latex] Опять преобразуем первое уравнение: [latex]u^3-3uv+v^3=(u+v)((u+v)^2-3uv)-3uv=17[/latex] Подставляем известное значение u+v=5. 5(25-3uv)-3uv=17 uv=6 Имеем u+v=5, uv=6. По теореме Виета u, v - корни квадратного уравнения [latex]t^2-5t+6=0 \\ t_1=2;\quad t_2=3[/latex] 1) u=2, v=3 x+y=2, xy=3 x,y - корни уравнения t^2-2t+3=0 У последнего уравнения действительных корней. 2) u=3, v=2 x+y=3, xy=2 (x,y) = (2,1) или (1,2) Ответ. (2,1) или (1,2)