Решить уравнение [latex]\displaystyle 2x+2+arctg x* \sqrt{x^2+1}+arctg(x+2)* \sqrt{x^2+4x+5}=0 [/latex]

ОДЗ=[latex]\mathbb{R}[/latex]. Непрерывная на [latex]\mathbb{R}[/latex] функция f(x)=arctg(x)√(x²+1) - нечетна и возрастает при x>0 (как произведение положительных возрастающих функций). Значит она возрастает на [latex]\mathbb{R}[/latex].  Функция f(x+2) - тоже возрастающая на [latex]\mathbb{R}[/latex]. Исходное уравнение можно записать как 2x+2+f(x)+f(x+2)=0. Сумма возрастающих функций - возрастающая. Т.к. возрастающая функция принимает каждое свое значение при одном х, то уравнение имеет не более одного корня и корень х=-1 легко угадывается. Ответ: х=-1.

Введем функцию F(t)=t+arctg t·√(t^2+1); наше уравнение записывается в виде F(x)+F(x+2)=0. Докажем, что F(t) - нечетная возрастающая функция. Нечетность очевидна: F(-t)=-t+arctg(-t)·√((-t)^2+1)=-(t+arctg t·√(t^2+1))= - F(t) Монотонность проверим с помощью производной: F'(t)= 1+ (1/(t^2+1))√(t^2+1)+arctg t·(t/√(t^2+1))>0 (первые два слагаемые положительны без сомнений, третье больше или равно нуля, так как участки положительности и отрицательности arctg t и t совпадают. Кстати, есть более симпатичный способ проверки монотонности таких функций:  Если функция возрастает на положительной полупрямой и нечетна, то она возрастает на всей прямой. Это можно доказать с помощью простой выкладки, или просто вспомнить, что левая часть графика нечетной функции получается из правой части симметрией относительно начала координат, что для лучшего понимания можно представить в виде двух симметрий - сначала относительно оси OY, а затем относительно OX. Первая симметрия возрастающую справа от нуля функцию делает убывающей слева от нуля, вторая - возрастающей. Так или иначе, наша функция нечетная и возрастающая. Дальше все просто. Переписываем уравнение в виде F(x)= - F(x+2); F(x)=F( - x - 2); остается вспомнить, что монотонная функция каждое свое значение принимает ровно один раз⇒ x= - x - 2; x= - 1 Ответ: - 1