Решите пожалуйста задачу: к плоскости правильного треугольника АВС из вершины А проведён перпендикуляр АД, равный 12 см. Точка Д удалена от стороны ВС на 13 см. Вычислите площадь треугольника АВС.

Чтобы найти площадь правильного треугольника, достаточно узнать его сторону. Рассмотри треугольники АДВ и АДС - они прямоугольные (так как АД - перпендикуляр к плоскости АВС), АД - общая сторона, АВ=АС (так как треугольник АВС - правильный). Значит треугольники АДВ и АДС равны. Значит ДВ = ДС, значит треугольник ДВС - равнобедренный. Расстояние от Д до ВС - это перпендикуляр из Д, опущенный на ВС (назовем его ДН). Точка Н - середина ВС (так как ДВС - равнобедренный треугольник). ДН = 13 - по условию. АН - медиана треугольника АВС (так как Н - середина ВС), значит АН - еще и высота (так как АВС - правильный треугольник). Рассмотрим треугольник АДН: так как АД - перпендикуляр к плоскости АВС, то АД перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости АВС, значит АД перпендикулярен и АН. Значит АДН - прямоугольный треугольник, АД = 12, ДН = 13. По теореме Пифагора АН = 5 - это высота правильного треугольника. [latex]h = \frac{a \sqrt{3} }{2} [/latex] - это связь высоты (h) и стороны (a) в правильном треугольнике. Значит [latex]5 = \frac{AB \sqrt{3} }{2} [/latex] [latex]10 =AB \sqrt{3} [/latex] [latex]AB = \frac{10}{\sqrt{3}}[/latex] Зная сторону находим площадь: [latex]S_{ABC} = \frac{AB^2 \sqrt{3} }{4} = \frac{100 \sqrt{3} }{3*4} = \frac{25\sqrt{3} }{3}[/latex] Ответ: [latex]S_{ABC} =  \frac{25\sqrt{3} }{3}[/latex]