Решите систему уравнений:[latex] \left \{ {{(x-y)^2-x+y=0 } \atop { { x^{2} y^{2}-xy-2=0 }} \right. [/latex]

1) Берём второе уравнение. Пусть [latex]a=xy, a^{2}= x^{2} y^{2} [/latex], тогда получаем квадратное уравнение [latex] a^{2}-a-2=0, D= b^{2}-4ac, D=1-4*(-2)=9, a _{1}= \frac{1-3}{2};a _{2}= \frac{1+3}{2};[/latex][latex] a_{1}=-1; a_{2}=2 [/latex], т.е. получаем, что xy=-1 или xy=2. 2) Возвращаемся к первому уравнению(раскроем скобки): [latex] x^{2} -2xy+ y^{2}-x+y=0 [/latex], так, для xy=-1 выразим y: y=-x, подставляем в него, [latex] x^{2} -2x*(-x)+ (-x)^{2}-x-x=0; 4 x^{2} -2x=0; 2x(2x-1)=0;[/latex], х=0 или х=0,5, тогда у соответственно равны 0 и -0,5. для xy=-2, [latex]y=- \frac{2}{x}; x^{2} -2*x*(- \frac{2}{x})+ (-\frac{2}{x}) ^{2}-x-(- \frac{2}{x})=0; x^{2} +4+ \frac{4}{ x^{2} }-x+ [/latex][latex] \frac{2}{x} [/latex], у нас получилось уравнение, которое называется возвратно-симметрическим, но оно уже приведено до состояния, что мы легко можем решить (а вообще это уравнение четвёртой степени). [latex] x^{2} + \frac{4}{ x^{2} }-(x- \frac{2}{x})+4=0 [/latex], теперь пусть [latex]t=x- \frac{2}{x}; t^{2}= x^{2} -4+ \frac{4}{ x^{2} }; t^{2}+4= x^{2} + \frac{4}{ x^{2} }; [/latex], получаем уравнение относительно t:[latex] t^{2}-t+4+4=0; t^{2}-t+8=0; D=1-32<0 [/latex], корней нет, следовательно, ответом будут точки (0;0);(0,5;-0,5).