Решите задачу.Длина круга, описанного вокруг равнобедренного треугольника, равна 50[latex] \pi [/latex] см, боковая сторона треугольника равна 40 см. Определите площадь треугольника.

Найдём радиус описанной окружности.  [latex]C=2\pi R=50\pi ,\; \; R=\frac{50\pi }{2\pi }=25[/latex] Пусть  в  ΔАВС центр описан. окр. находится в точке О.Тогда ОА=ОВ=ОС=25. ΔАОВ - равнобедренный. По теореме косинусов найдем угол АВО=углу ВАО. [latex]25^2=25^2+40^2-2\cdot 25\cdot 40\cdot cosABO\\\\625=2225-2000\cdot cosABO\\\\cosABO=\frac{2225-625}{2000}=\frac{4}{5}\\\\\ \textless \ ABC=2\cdot \ \textless \ ABO\\\\sinABO=\sqrt{1-cos^2ABO}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac{3}{5}\\\\sinABC=2\cdot sinABO\cdot cosABO=2\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{4}{5}=\frac{24}{25}\\\\S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot sinABC=\frac{1}{2}\cdot 40\cdot 40\cdot \frac{24}{25}=768[/latex]

[latex]C=2 \pi R[/latex] [latex]C=50 \pi [/latex] [latex]2 \pi R=50 \pi [/latex] [latex]R=25[/latex] по теореме синусов: [latex] \frac{AB}{sin\ \textless \ C} =2R[/latex] [latex] \frac{40}{sin\ \textless \ C} =2*25[/latex] [latex]sin\ \textless \ C= \frac{4}{5} [/latex]