Решите задачу.Разница катетов равна 10 см, а длина описанного круга равна 50[latex] \pi [/latex] см. Найдите плащадь треугольника.

Обозначим катеты через а и b, а гипотенузу - с.  [latex]C=2 \pi R[/latex] - длина опписанного круга. R - средина гипотенузы, тоесть гипотенуза является диаметром круга и равен он c=2R  Вычислим радиус описанной окружности [latex]R= \frac{C}{2 \pi } = \frac{50 \pi }{2 \pi } =25[/latex] откуда гипотенуза с = 2R=50 см.  По т. Пифагора [latex]50^2=a^2+b^2[/latex] По условию: [latex]a-b=10[/latex]  Составим систему уравнений [latex]\begin{cases} & \text{ } c^2=a^2+b^2 \\ & \text{ } a-b=10 \end{cases}\to \begin{cases} & \text{ } 50^2=(10+b)^2+b^2 \\ & \text{ } a=10+b \end{cases} [/latex]  [latex]100+20b+b^2+b^2=2500\\ 2b^2+20b-2400=0|:2\\ b^2+10b-1200=0[/latex]  По т. Виета: [latex]\begin{cases} & \text{ } b_1+b_2= \frac{-b}{a}=-10 \\ & \text{ } b_1\cdot b_2= \frac{c}{a}=-1200 \end{cases}\to \begin{cases} & \text{ } b_1=-40 \\ & \text{ } b_2=30 \end{cases} [/latex] b = - 40 посторонний корень. [latex]a_2=30+10=40[/latex] см Площадь прямоугольного треугольника :  [latex]S= \dfrac{40\cdot 30}{2}=600 [/latex] см² Окончательный ответ: 600 см²