С какой высоты относительно поверхности земли нужно бросить шарик вертикально вниз со скоростью 20 м/с, чтобы после удара о землю он поднялся на высоту, в три раза большую, если в процессе удара теряется 50% механической энерги...

воспользуемся законом сохранения энергии сразу учтя, что потери энергии 50% [latex]0,5(mgh+ \frac{mv ^{2} }{2} )=3mgh[/latex] [latex]mgh+ \frac{mv ^{2} }{2} =6mgh[/latex] [latex]5gh= \frac{v ^{2} }{2} [/latex] [latex]h= \frac{v ^{2} }{10g} = \frac{20 ^{2} }{10*10} = \frac{400}{100} =4m[/latex]  Ответ

энергия механической системы в начале пути шарика складывается из его кинетической и потенциальной энергий E1=mv2/2 + mgh=m(v2/2 + gh) , где h - искомая высота такая энергия приходится в удар и теряет половину, значит, на вылет шарика вверх остается только m/2 * (v2/2 + gh) в верхней точке подъема скорость будет нуль; потенциальная энергия на тройной высоте mgh , по закону сохранения после удара  m/2 * (v2/2 + gh) = 3mgh немного сокращаем и получаем h=v2/10g тогда h=400/100=4m приблизительно 4 метра (ЗСЭ везде свободно применяем, так как на шарик никакие силы, кроме силы тяжести, не действуют => работы над ним не совершают)