Сформулируйте теорему о соотношениях между сторонами и углами треугольника и следствия из нее.

Теорема 1. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.Доказательство. Пусть в треугольнике ABC сторона АВ больше стороны АС (рис.1, а).Рис.1Докажем, что ∠ С > ∠ В. Отложим на стороне АВ отрезок AD, равный стороне АС (рис.1, б). Так как AD < АВ, то точка D лежит между точками А и В. Следовательно, угол 1 является частью угла С и, значит, ∠ C > ∠ 1. Угол 2 — внешний угол треугольника BDC, поэтому Z 2 > Z В. Углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника ADC. Таким образом, ∠ С > ∠ 1, ∠ 1 = ∠ 2, ∠ 2 > ∠ B. Отсюда следует, что ∠ С > ∠ В.Справедлива и обратная теорема (ее доказательство проводится методом от противного).Теорема 2. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.Из теоремы 1 вытекаетСледствие 1. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).Доказательство следствия проводится методом от противного.Из следствия 1 следует, что если три угла треугольника равны, то треугольник равносторонний.Из теоремы 2 получаемСледствие 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.С использованием теоремы 2 устанавливается следующая теорема.Теорема 3. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.Следствие 4. Для любых трех точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства:  АВ < АС + СВ, АС < АВ + ВС, ВС < ВА + АС.