Сколько корней имеет уравнение [latex]( \sqrt{2} )^x=x\,\,\,?[/latex] без графиков... аналетически...

[latex](\sqrt{2})^x = x[/latex] Запишем уравнение в виде [latex] \frac{\ln x}{x} = \frac{\ln 2}{2} [/latex]. Очевидно, что х=2 есть корнем данного уравнения.  Рассмотрим функцию [latex]f(x)= \frac{\ln x}{x} [/latex]. Имеем [latex]f'(x)= \frac{1-\ln x}{x^2} [/latex], откуда получаем, что функция [latex]f(x)[/latex] возрастает на промежутке [latex](0;e)[/latex] и уюывает на промежутке [latex](e;+\infty)[/latex], причем [latex] \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} =0[/latex]. Отсюда следует, что уравнение также имеет один корень на промежутке [latex](e;+\infty)[/latex]