Сколько целых решений имеет уравнение х(х+1)+(х+1)*(х+2)+....+(х+2014)*(х+2015)=2014х+2015 ?

При любом целом х левая часть - четное число (т.к. каждое слагаемое - произведение двух последовательных чисел, т.е. четное). Правая часть - всегда нечетна (она есть сумма четного числа 2014х и нечетного 2015), поэтому равенства быть не может. Ответ: нисколько.