Случайным образом выбираются три различные вершины шестиугольной призмы. Какова вероятность того, что плоскость, проходящая через эти три вершины, содержит какие-либо точки строго внутри призмы? Ответ округлите до сотых.

Решение 1: Плоскость не будет содержать внутренних точек, если все три точки принадлежать одной грани - основанию или боковой. Три точки будут лежать в основании с вероятностью 1 * 5/11 * 4/10 = 2/11 (первая точка задаёт основание, для второй точки подойдёт 5 из 11 оставшихся точек, третьей - 4 из 10) Если точки лежат не в плоскости одного из оснований (вероятность 9/11), то две точки лежат в плоскости одного (для определённости - верхнего) основания, а одна - в плоскости нижнего основания. В верхнем основании должны быть выбраны соседние вершины (вероятность 2/5: если первая точка выбрана, то для второй осталось 5 мест, из которых 2 - рядом с первой). В нижнем основании должна быть выбрана точка под одной из выбранных в верхнем основании, вероятность 2/6. Итого вероятность, что плоскость не содержит внутренних точек, равна 2/11 + 9/11 * 2/5 * 1/3 = 16/55. Вероятность искомого события = 1 - 16/55 = 39/55 ≈ 0.71. Решение 2: Всего у 6-угольной призмы 12 вершин, выбрать 3 вершины можно [latex]C_{12}^3=12!/9!/3!=220[/latex] способами. Пусть нам не повезло, плоскость, проходящая через вершины, не содержит внутренних точек. Значит, все три вершины были на одной грани. Если это боковая грань (четырёхугольная), то три точки можно выбрать 4 способами. Всего таких граней 6, что даёт 6 * 4 = 24 способа. Если это основание (шестиугольное), то три точки можно выбрать [latex]C_6^3=20[/latex] способами. Таких оснований 2, и это даёт 20 * 2 = 40 способов. Не везёт с вероятностью (24 + 40)/220 = 16/55, поэтому повезёт с вероятностью 39/55 ≈ 0.71