Срочно y''-8y'+7y=2*e^5x

Классификация: дифференциальное уравнение второго порядка, линейное и неоднородное. Нам найти нужно:   Yo.н. = Yо.о. + Yч.н. Где Yо.н. - неоднородное ур., Yо.о. - общее однородное, Yч.н. - частное неоднородное. 1) Yо.о: Найдем решение однородного уравнения [latex]y''-8y'+7y=0[/latex] Воспользуемся методом Эйлера и перейдем к характеристическому уравнению: [latex]y=e^{kx}[/latex] ⇒ [latex]k^2-8k+7=0[/latex] По т. Виета: [latex]k_1=1;\,\,\,\,\, k_2=7[/latex] Имеем 2 действительных различных формы, которые соответствуют частные решения вида [latex]y_1=e^{x};\,\,\, y_2=e^{7x}[/latex] Тогда [latex]\boxed{y_{o.o.}=C_1y_1+C_2y_2=C_1e^x+C_2e^{7x}}[/latex] 2) Определим Уч.н.([latex]C_1,C_2[/latex] принимаем за функции). [latex]f(x)=2e^{5x}[/latex], [latex]\Rightarrow \alpha =2;\,\,\, P_n(x)=2;\,\,\,\, n=0[/latex], где [latex]P_n(x)[/latex] - многочлен степени n. Тем самым убеждаемся что правая часть относится к первому специальному виду: Сравнивая [latex]\alpha[/latex] с корнями характеристического уравнения, и принимая во внимания, что n=0 частное решение будем искать в виде: Уч.н. [latex]=e^{5x}\cdot A[/latex] Чтобы определить коэффициент А, подставим Уч.н. в исходное уравнение, вычислив предварительно производные: [latex]y'=5Ae^{5x}\\ \\ y''=25Ae^{5x}[/latex] Подставим полученное выражение в исходное уравнение, сокращая на [latex]e^{5x}[/latex] [latex]25A-8\cdot 5A+7\cdot A=2\\ 25A-40A+7A=2\\ -8A=2\\ A=- \frac{1}{4} [/latex] Найденный коэффициент подставим в Уч.н. Уч.н.[latex]=- \dfrac{e^{5x}}{4} [/latex] Тогда общее неоднородное диф. уравнение имеет вид: [latex]\boxed{Y_{O.H.}=C_1e^x+C_e^{7x}-\dfrac{e^{5x}}{4} }[/latex] Ответ: [latex]C_1e^x+C_e^{7x}-\dfrac{e^{5x}}{4}[/latex]