СРОЧНОООО!!!! ПРОШУУУУ!!!! В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC биссектриса BL=10, а высота AD=5. Найдите уголABD (в градусах).

Поскольку в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, будет медианой и биссектрисой, то [latex]\angle BAD=\angle DAC[/latex]. Тогда обозначив [latex]\angle BAD=\alpha[/latex], получим [latex]\angle BAL=2\alpha[/latex] [latex]\angle ABD=90^\circ-\alpha;\, \angle ABL=45^\circ-\frac{\alpha}{2};\,\angle ALB=135^\circ-\frac{3\alpha}{2}[/latex] . Поскольку [latex]\triangle BAD[/latex] - прямоугольный, то (по известному соотношению) [latex]AB= \frac{AD}{\sin (90^\circ -\alpha)} =\frac{5}{\cos\alpha} [/latex] С другой стороны, по теореме синусов в [latex]\triangle ABL[/latex] [latex]\frac{BL}{\sin \angle BAL} = \frac{AB}{\sin \angle ALB} \rightarrow\frac{BL}{\sin 2\alpha} = \frac{AB}{\sin (135^\circ-\frac{3\alpha}{2})} ;[/latex] откуда получаем [latex]AB= \frac{10\sin(135^\circ- \frac{3\alpha}{2}) }{\sin 2\alpha} [/latex] Приравнивая правые части выражений для AB, получаем [latex] \frac{5}{\cos\alpha} =\frac{10\sin(135^\circ- \frac{3\alpha}{2}) }{\sin 2\alpha}\rightarrow \frac{1}{\cos\alpha} =\frac{2\sin(135^\circ- \frac{3\alpha}{2}) }{2\sin \alpha\cos \alpha}\rightarrow\sin(135^\circ- \frac{3\alpha}{2})=\sin\alpha[/latex] и [latex]135^\circ- \frac{3\alpha}{2}=\alpha;\, \frac{5}{2} \alpha =135^\circ;\, \alpha =54^\circ.[/latex] Поэтому, [latex]\angle ABD=90^\circ-54^\circ=36^\circ[/latex]