Существует ли число, которое при делении на 69 даёт в остатке 67 ?

Да. Это число можно записать в виде 69*n+67, где n - любое натуральное число. Например, при n = 2 получаем число 69*2+67 = 138+67 = 205. 205:69 = 2 (ост. 67).

...................... . .. ..