Теорема Чевы. Доказательство теоремы. Пример использования. Четкий, понятный и читаемый рисунок.

Теорема Чевы. Дан треугольник [latex]ABC[/latex] и точки [latex]A_1, \ B_1, \ C_1[/latex] на сторонах BC, AC и AB соответственно. Отрезки  [latex]AA_1,\ BB_1,\ CC_1[/latex] пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда [latex]\frac{AB_1}{B_1C}\cdot \frac{CA_1}{A_1B}\cdot \frac{BC_1}{C_1A}=1[/latex] Лемма. Если числа [latex]a,\ b,\ c,\ d [/latex] таковы, что  [latex]\frac{a}{b}=\frac{c}{d}, [/latex] то [latex]\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}=\frac{a-c}{b-d}= \frac{2a+3c}{2b+3d}=\ldots = \frac{\lambda a+\mu c}{\lambda b+\mu d}[/latex], лишь бы знаменатель в ноль не обращался. Доказательство леммы. Оно элементарно. Кстати, те, кто в первый раз видит эту лемму, очень часто реагируют так: "Вы что же, числители и знаменатели складываете?! У нас в школе за это двойки ставят!" Впрочем, присмотревшись к утверждению и убедившись, что мы не собираемся таким образом дроби складывать, обычно все успокаиваются, особенно разобравшись в доказательстве. Обозначим общее значение дробей [latex]\frac{a}{b}[/latex] и [latex]\frac{c}{d}[/latex] буквой [latex]t.[/latex] Тогда  [latex]a=bt;\ c=dt\Rightarrow \lambda a+\mu c = (\lambda b+ \mu d)t\Rightarrow [/latex] [latex]\frac{\lambda a+\mu b}{\lambda b+\mu d}=t,[/latex] что и требовалось доказать. Чтобы эта лемма стала совсем очевидной, хочется привести еще и то, что я иногда называю ПОКАЗАТЕЛЬСТВОМ, то есть рассуждение, не претендующее на роль строгого рассуждения, но помогающее приблизиться к "кухне математика". Итак, представьте две карты некой местности в разных масштабах, a - это расстояние между пунктами D и E, b - между E и F на одной карте, b и d - аналогичные расстояния на другой карте. В этом случае [latex]\frac{a}{b}=\frac{c}{d}[/latex] - это отношение масштабов карт. Ясно, что если мы сложим a и c, то получим длину маршрута от первого пункта через второй к третьему на первой карте, а сложив b и d - длину маршрута на второй карте. Понятно, что их отношение снова равно отношению масштабов карт. Доказательство теоремы. 1. Пусть указанные отрезки пересекаются в точке [latex]P[/latex], тогда треугольник [latex]ABC[/latex] оказывается разбит на 6 треугольников, занумерованных так, как указано на чертеже.  Рассмотрим первую дробь [latex]\frac{AB_1}{B_1C}.[/latex] Поскольку числитель и знаменатель этой дроби являются основаниями треугольников [latex]ABB_1[/latex] и [latex]B_1BC[/latex] с общей высотой, дробь не изменится, если заменить числитель и знаменатель на площади указанных треугольников. А заметив, что на тех же основаниях стоят треугольники [latex]APB_1[/latex] и [latex]B_1PC[/latex], можно заменить числитель и знаменатель и на их площади.  Поэтому [latex]\frac{AB_1}{B_1C}= \frac{S_I+S_{II}+S_{III}}{S_{IV}+S_{V}+S_{VI}}= \frac{S_I}{S_{VI}}. [/latex] Воспользуемся теперь леммой: дроби не изменятся, если взять разность числителей и разность знаменателей: [latex]\frac{AB_1}{B_1C}=\frac{S_{II}+S_{III}}{S_{IV}+S_{V}}[/latex] Проведя аналогичное рассуждение для двух других дробей, получаем: [latex]\frac{AB_1}{B_1C}\cdot \frac{CA_1}{A_1B}\cdot \frac{BC_1}{C_1A}= \frac{S_{II}+S_{III}}{S_{IV}+S_{V}}\cdot \frac{S_{VI}+S_{I}}{S_{II}+S_{III}}\cdot \frac{S_{IV}+S_{V}}{S_{VI}+S_{I}}=1,[/latex] что и доказывает теорему Чевы в одну сторону. 2. Пусть [latex]AA_1, BB_1, CC_1 [/latex] не пересекаются в одной точке.Проведем через точку пересечения [latex]AA_1[/latex] и  [latex]BB_1[/latex] отрезок [latex]CC_2[/latex] (точка [latex]C_2[/latex] расположена на стороне [latex]AB[/latex]).  По доказанному, [latex]\frac{AB_1}{B_1C}\cdot\frac{CA_1}{A_1B}\cdot\frac{BC_2}{C_2A}=1.[/latex] Если бы было выполнено [latex]\frac{AB_1}{B_1C}\cdot\frac{CA_1}{A_1B}\cdot \frac{BC_1}{C_1A}=1[/latex], то  [latex]\frac{BC_2}{C_2A}=\frac{BC_1}{C_1A},[/latex] что невозможно при [latex]C_1\not= C_2[/latex] (скажем, если точки на стороне [latex]AB[/latex] расположены в порядке [latex]A \ - \ C_1\ - C_2\ - B, [/latex] то числитель первой дроби больше числителя второй дроби, а знаменатель первой дроби меньше знаменателя второй, значит, первая дробь больше второй). На этом доказательство завершается.   Замечание. Нетрудно получить тригонометрическую форму теоремы Чевы.  Воспользуемся для этого теоремой синусов: [latex]\frac{AB_1}{\sin \beta_1}=\frac{AB}{\sin AB_1B};\ \ \frac{B_1C}{\sin \beta_2}=\frac{BC}{\sin CB_1B}\Rightarrow[/latex] [latex]\frac{AB_1}{B_1C}=\frac{AB}{BC}\cdot \frac{\sin \beta_1}{\sin \beta_2}.[/latex] Аналогично получаем [latex]\frac{CA_1}{A_1B}=\frac{AC}{AB}\cdot \frac{\sin\alpha_1}{\sin \alpha_2}; \ \ \frac{BC_1}{C_1A}=\frac{BC}{AC}\cdot \frac{\sin \gamma_1}{\sin \gamma_2}.[/latex] Отсюда получается новая формулировка теоремы Чевы. Отрезки [latex]AA_1, \ BB_1, \ CC_1[/latex] пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда  [latex]\frac{\sin \alpha_1}{\sin \alpha_2}\cdot \frac{\sin \beta_1}{\sin\beta_2}\cdot \frac{\sin \gamma_1}{\sin\gamma_2}=1[/latex] Примеры. 1) Медианы пересекаются в одной точке, поскольку все три дроби в основной формулировке теоремы Чевы равны 1. 2) Биссектрисы пересекаются в одной точке. Здесь удобнее воспользоваться теоремой Чевы в тригонометрической форме. 3) Высоты в остроугольном треугольнике пересекаются в одной точке. Опять легче воспользоваться тригонометрической формой.