Точка О расположена внутри равностороннего треугольника со стороной а. Докажите, что сумма расстояний от точки О до прямых, содержащих стороны треугольника, равны высоте треугольника.  

Сторона треугольника а, высота h, расстояния от О до сторон x; y; z. Площадь треугольника можно выразить двумя способами S = a*h/2; и если соединить О с вершинами, то получится три треугольника с площадями x*a/2; y*a/2; z*a/2, то есть S = x*a/2 + y*a/2 + z*a/2 = (x + y + z)*a/2; Откуда h = x + y + z; чтд