Точка пересечения медиан треугольника равноудалена от его вершин. Докажите, что этот треугольник равносторонний.

Если точка пересечения медиан равноудалена от вершин, то эта точка является инцентром (точкой пересечения биисектрис и центром вписанной окружности). Кроме этого, медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Те части, которые лежат за точкой пересечения, равны по условию, тогда и те части, которые в два раза больше равных частей, тоже равны. Тогда точка пересечения медиан будет являтся точкой пересечения серединных перпендикуляров. Тогда все медианы являются биссектрисами и высотами в треугольнике => треугольник является равносторонним.