Треугольники ABC и ADC расположены по одну сторону от прямой AC.Известно, что AB=CD,AD=CB,M-середина AC.Докажите , что треугольник BMD - равнобедренный.

 Поскольку отрезки AD и BC пересекаются, точки D и B лежат по одну сторону от прямой AC. Следовательно, точки A, B, C, D лежат на одной окружности. Рассмотрим два случая.    1) Точки идут в порядке A, D, B, C. Тогда AMC – внешний угол треугольника AMD,поэтому ∠DAB = ∠DAM = 30°. Но  ∠ADB > 40°.  Значит,  AB > DB,  что противоречит условию.    2) Точки идут в порядке A, B, C, D (см. рис.) Тогда  ∠DMC = 30°,  ∠BCA = ∠BCD = ∠DCM = 30°.  Следовательно,  ∠DCA = 60°,  ∠BAC = 110°,  ∠DAC = 80°.