Тупоугольный треугольник ABC вписан в окружность радиуса 8/√15. Известно, что длины сторон AB и AC равны соответственно 3 и 4. Найти периметр треугольника

Обозначим длину стороны AB за x (x ≥ 0). Вспомним формулу нахождения описанной около треугольника окружности через произведение сторон и площадь [latex]R = \frac{AB \cdot BC \cdot AC}{4S_{\Delta ABC}}[/latex] [latex]\frac8{\sqrt{15}} = \frac{3 \cdot 4 \cdot x}{4S}[/latex] [latex]\frac8{\sqrt{15}} = \frac{3 \cdot x}{S}[/latex] [latex]8S=3x\sqrt{15}[/latex] Найдем площадь треугольника по формуле Герона [latex]S=\sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)}[/latex], где [latex]p=\frac{AB+AC+BC}2[/latex] [latex]p=\frac{3+4+x}2=\frac{7+x}2[/latex] [latex]S=\sqrt{\frac{7+x}2(\frac{7+x}2-3)(\frac{7+x}2-4)(\frac{7+x}2-x)}=[/latex] [latex]=\sqrt{\frac{7+x}2\cdot\frac{1+x}2\cdot\frac{x-1}2\cdot\frac{7-x}2}=\sqrt{(\frac72+\frac x2)(\frac72-\frac x2)(\frac x2+\frac12)(\frac x2-\frac12)}=[/latex] [latex]\sqrt{(\frac{49}4-\frac{x^2}4)(\frac{x^2}4-\frac14)}=\frac14\sqrt{(49-x^2)(x^2-1)}[/latex] Подставим получившееся значение в первое уравнение [latex]8\cdot\frac14\sqrt{(49-x^2)(x^2-1)}=3x\sqrt{15}[/latex] [latex]2\sqrt{(49-x^2)(x^2-1)}=3x\sqrt{15}[/latex] [latex](2\sqrt{(49-x^2)(x^2-1)})^2=(3x\sqrt{15})^2[/latex] [latex]4(49-x^2)(x^2-1)=9x\cdot15[/latex] [latex]196x^2-196-4x^4+4x^2=135x[/latex] [latex]200x^2-196-4x^4=135x[/latex] [latex]4x^4-65x^2+196=0[/latex] Замена [latex]x^2=t,\ t \geq 0[/latex] [latex]4t^2-65t+196=0[/latex] [latex]D=65^2-4\cdot4\cdot196=4225-3136=1089=33^2[/latex] [latex]t_1=\frac{65+33}{2\cdot4}=12,25[/latex] [latex]t_2=\frac{65-33}{2\cdot4}=4[/latex] Вернемся к замене [latex]1)\ x^2=12,25[/latex] [latex]x=\pm3,5[/latex] [latex]2)\ x^2=4[/latex] [latex]x=\pm2[/latex] [latex]x \geq 0 \Rightarrow x \in \{3,5;\ 2\}[/latex] Найдем больший угол треугольника по теореме косинусов 1) Стороны: 3; 4; 3,5 [latex]\[A{C^2} = B{C^2} + A{B^2} - 2 \cdot BC \cdot AB \cdot \cos \angle B\][/latex] [latex]4^2 = 3,5^2 + 3^2 - 2 \cdot 3,5 \cdot 3 \cdot \cos \angle B [/latex] [latex]16 = 12,25 + 9 - 21\cos \angle B [/latex] [latex]21\cos \angle B=5,25 [/latex] [latex]\cos \angle B=0,25[/latex] Значит ∠B < 90° ⇒ ΔABC - остроугольный.  2) Стороны: 3; 4; 2 [latex]\[A{C^2} = B{C^2} + A{B^2} - 2 \cdot BC \cdot AB \cdot \cos \angle B\][/latex] [latex]4^2 = 2^2 + 3^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cos \angle B [/latex] [latex]16 = 4 + 9 - 12\cos \angle B [/latex] [latex]12\cos \angle B =-3 [/latex] [latex]\cos \angle B =-0,25 [/latex] Значит ∠B > 90° ⇒ ΔABC - тупоугольный.  По условию треугольник тупоугольный, значит AB = 2, а P = 3 + 4 + 2 = 9 Ответ: 9

b=3, c=4, R=8/√15, ∠C>90°. Радиус: R=abc/4S, Площадь ΔАВС: S=ah/2, R=2abc/4ah=bc/2h ⇒  h=bc/2R=3·4·√15/(2·8)=0.75√15. В тр-ке АВН ВН=√(с²-h²)=√(4²-(0.75√15)²)=2.75 В тр-ке АСН СН=√(b²-h²)=√(3²-(0.75√15)²)=0.75 a=BH-CH=2. Периметр ΔАВС: Р=a+b+c=2+3+4=9 (ед) - это ответ.