У прямокутнику АВСD бісектриси кутів А та D перетинаються у точці К; точки М та Р точки перетину цих бісектрис зі сторною ВС (мал). Відомо що АК=10, МР=4√2. Обчисліть площу заданогог прямокутника?

Биссектрисы прямых углов АК и ДК со стороной АД образуют прямоугольный треугольник с прямым углом АКД. В этом прямоугольном равнобедренном треугольнике известен катет АК = ДК = 10, тогда АД = АК/cos 45° = 10/(1/√2) = 10√2. Треугольники АКД и МКР подобны как прямоугольные равнобедренные треугольники. Стороны их соответственно пропорциональны и АД:МР = АК:КМ или в цифрах6 10√2: 4√2 = 10:КМ, откуда КМ = 4. Высоты Н₁ и Н₂ треугольников АКД и МКР составляют в сумме сторону АВ прямоугольника. найдём эти высоты. Н₁ = АВ·cos45° = 10·0.5√2 = 5√2 Н₂ = КМ·cos45° = 4·0.5√2 = 2√2 Итого АВ = Н₁ + Н₂ = 5√2 + 2√2 = 7√2 Площадь прямоугольника АВСД равна S = AB·АД = 7√2 · 10√2 = 70·2 = 140 Ответ: S = 140