Угол ACB вписан в окружность. Точка О - центр окружности. Хорда AB=m, угол ACB=x/2. Найти радиус окружности.

Соединим точку с т. А и В.Тогда угол АОВ и угол АСВ опираются на одну дугу. Поэтому угол АОВ=2 угла АСВ=α Теперь по теореме косинусов m^2=R^2+R^2-2RRcosα=2R^2(1-cosα)  R=m/√(2(1-cosα))

Провести OA и OB. Треугольник AOB: угол AOB равен x/2 * 2 = x (угол AOB - центральный, опирается на ту же дугу, что и вписанный угол ACB. Центральный угол в два раза больше вписанного). В треугольнике AOB провести высоту OH. Треугольник OHA - прямоугольный. H - середина AB, следовательно, AH = m/2. Угол AOH = угол AOB / 2 = x/2. sin AOH = AH / OA. OA = r = m/2 : sin AOH = m/(2*sin x/2).