Упростить Sinx/(tg(п/4-x/2)*(1+sinx))

Надо сначала упростить тангенс в знаменателе по известной формуле тангенса разности [latex]\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}[/latex] [latex]\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\tan\frac{\pi}{4}-\tan\frac{x}{2}}{1+\tan\frac{\pi}{4}\tan\frac{x}{2}}=\frac{1-\tan\frac{x}{2}}{1+\tan\frac{x}{2}}=[/latex] Воспользуемся известной формулой [latex]\tan\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}[/latex] и снова преобразуем предыдущее выражение [latex]\frac{1-\tan\frac{x}{2}}{1+\tan\frac{x}{2}}=\frac{1-\frac{1-\cos x}{\sin x}}{1+\frac{1-\cos x}{\sin x}}=[/latex] Умножим и числитель и знаменатель выражения на sin x.   [latex]\frac{1-\frac{1-\cos x}{\sin x}}{1+\frac{1-\cos x}{\sin x}}=\frac{\sin x-1+\cos x}{\sin x+1-\cos x}\quad(*)[/latex] Теперь запишем исходное выражение с учетом наработанного, причем перенесем знаменатель в (*) в числитель выражения [latex]\frac{\sin x}{\frac{\sin x-1+\cos x}{\sin x+1-\cos x}*(1+\sin x)}=\frac{\sin x*(\sin x+1-\cos x)}{(\sin x-1+\cos x)*(1+\sin x)}=\quad(***)[/latex] Теперь отдельно займемся знаменателем этой дроби. Раскроем скобки. [latex](\sin x-1+\cos x)*(1+\sin x)=[/latex] [latex]\sin x -1+\cos x+\sin^2 x-\sin x+\sin x\cos x=[/latex] Теперь можно сократить на sin x, так как эти слагаемые противоположны по знаку [latex]=\sin x -1+\cos x+\sin^2 x-\sin x+\sin x\cos x=[/latex] [latex]=-1+\cos x+\sin^2 x+\sin x\cos x\quad(**)[/latex] Заметим, что [latex]-1+\sin^2 x=-(\cos^2 x+\sin^2 x)+\sin^2 x=-\cos^2 x-\sin^2 x+\sin^2 x=[/latex] [latex]=-\cos^2 x[/latex] Учитывая это, (**) снова упрощается в [latex]-1+\cos x+\sin^2 x+\sin x\cos x=-\cos^2 x+\cos x+\sin x\cos x=[/latex] Теперь вынесем за скобки cos x [latex]-\cos^2 x+\cos x+\sin x\cos x=\cos x(-\cos x+1+\sin x)[/latex]  Это и есть упрощенный знаменатель. Теперь подставим в исходную дробь (***) [latex]\frac{\sin x*(\sin x+1-\cos x)}{(\sin x+1-\cos x)*(1+\sin x)}=\frac{\sin x*(\sin x+1-\cos x)}{\cos x(-\cos x+1+\sin x)}=[/latex] Теперь числитель и знаменатель сокращаем на множитель [latex](\sin x+1-\cos x)[/latex], получаем [latex]=\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x[/latex] Ответ: [latex]\tan x[/latex]