В эллипсе [latex] \frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}=1 [/latex] вписать прямоугольник со сторонами,параллельными осям эллипса,площадь которого наибольшая.помогите пожалуйста

[latex] \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/latex] ,  пусть [latex](x';y')[/latex]   координаты вершины [latex]A[/latex] , прямоугольника [latex]ABCD[/latex].   Если прямоугольник вписан в эллипс , то выполняется  условие   [latex]\frac{x'^2}{a^2}+\frac{y'^2}{b^2}=1\\ x'^2b^2+a^2y'^2=a^2b^2\\ y'^2=\frac{a^2b^2-x'^2b^2}{a^2}\\ [/latex]   Тогда площадь прямоугольника равна [latex] S=2x'*2y'=4x'y' [/latex]  это не производные     .   [latex]x'=x\\ y'=y\\\\ S=4xy\\ y^2=\frac{a^2b^2-x^2b^2}{a^2}\\\\ S=4*\sqrt{\frac{a^2b^2-x^2b^2}{a^2}}*x[/latex]  Теперь рассмотрим данную функцию очевидно что [latex]a>b>y>x>0[/latex]  .    Найдем производную         [latex] S'=4*\sqrt{\frac{a^2b^2-x^2b^2}{a^2}}*x \\ S'=\frac{ (8x^2-4a^2) * \sqrt{a^2b^2-b^2x^2} }{ax^2-a^3}\\ S'=0\\ 8x^2=4a^2\\ x= \frac{a}{\sqrt{2}}\\ a^2b^2 \geq b^2x^2\\ a^2 \geq x^2 \\ a \neq x\\ [/latex]  То есть  одна сторона прямоугольника равна [latex]2*\frac{a}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}*a\\ [/latex]   тогда другая [latex]\sqrt{2}b[/latex] .  То есть самая наибольшая площадь которую можно вписать в данный эллипс равен   [latex]S=2ab[/latex]