В клетки таблицы 3х3 вписаны 9 различных натуральных чисел, сума которых равна 50. Катя нашла сумму чисел в каждом из квадратов 2х2. Какова наименьшая возможная сумма этих четырех сумм?

Обозначим среднее число, как С (Centre), левое от него L (Left), правое от центра R (Right), вверх от центра U (Up) и вниз от центра D (Down). Оставшиеся по углам числа обозначим, как x, y, z и t.     x    U    y          L    C    R     z    D    t Сумма в верхнем левом квадрате 2х2:    x + U + L + C ; Сумма в верхнем правом квадрате 2х2:    U + y + C + R ; Сумма в нижнем левом квадрате 2х2:    L + C + z + D ; Сумма в нижнем правом квадрате 2х2:    C + R + D + t ; Сумма этих четырёх сумм будет:  S = ( x + U + L + C ) + ( U + y + C + R ) + ( L + C + z + D ) + ( C + R + D + t ) =  = x + 2U + 2L + 4C + y + 2R + z + 2D + t =  = x + y + z + t + 2 ( U + L + R + D ) + 4C ; Нам нужно добиться минимальности S, тогда в натуральные числа нужно брать минимальные натуральные числа, а значит и число 1. Величина числа C влияет на общую сумму сильней всего, поскольку число С берётся 4 раза, с коэффициентом 4, т.е. как 4С, поэтому в первую очередь минимизировать нужно именно число С. Итак, С = 1 , а 4С=4 . Оставшиеся величины U, L, R и D влияют на общую сумму с удвоенной силой, поскольку величина ( U + L + R + D ) берётся 2 раза, с коэффициентом 2, т.е. как 2( U + L + R + D ), поэтому в эти величины нужно взять 4 минимальные натуральные числа отличные от единицы, т.е. числа 2, 3, 4 и 5, всё равно в каком именно порядке, т.е. просто: ( U + L + R + D ) = ( 2 + 3 + 4 + 5 ) = 14 ;  2 ( U + L + R + D ) = 28 ; Мы знаем, что полная сумма должна быть равна 50, т.е.:  x + U + y + L + C + R + z + D + t = 50 .  ( x + y + z + t ) + ( U + L + R + D ) + C = 50 . Подставим сюда величины, которым мы уже присвоили определённые значения:  ( x + y + z + t ) + 14 + 1 = 50 .  x + y + z + t = 35 . Мы никак не ограниченны в выборе разных чисел  x, y, z и t , так что вполне можем подобрать какие-то натуральные числа, чтобы это выполнялось, например  ( x + y + z + t ) = ( 7 + 8 + 9 + 11 ) . Все условия выполнены, числа взяты минимальные, в сумме квадратика 3х3 они дают 50, теперь посчитаем сумму всех сумм 2х2:  S = x + y + z + t + 2 ( U + L + R + D ) + 4C = 35 + 28 + 4 = 35 + 32 = 67 ; О т в е т : 67 .