В конус высотой Н и радиусом основания R вписан цилиндр с наибольшей боковой поверхностью. Каковы размеры цилиндра?

Пусть r  и  h  соответственно радиус основания и высота вписанного в конус цилиндра . Sбок = πrh ;  r/R =(H-h)/H ⇒r =(R/H)*(H-h). Sбок = (πR/H) *(H-h)h = (πR/H) *(-h² +Hh)= (πR/H )* (H²/4 -(h -H/2)²). Sбок   принимает максимальное значения , если h =H/2. r =(R/H)*(H-H/2) =R/2.