В куб с ребром, равным a, вписан шар. Вычислите радиус шара, касающегося данного шара и трех граней куба, имеющих общую вершину.

Вот считаю устно прямо при вас. Диагональ куба равна a√3; расстояние от вершины до центра куба и шара a√3/2; радиус шара a/2; поэтому от вершины до ближайшей точки шара a(√3 - 1)/2; это та точка, в которой малый шар касается вписанного в куб. Если его радиус r, то от вершины куба до центра этого шара r√3; а до точки касания r√3 + r = r(√3 + 1); отсюда r = (a/2)(√3 - 1)/(√3 + 1); ну корень из знаменателя вы сами уберите.