. В основании прямого параллелепипеда лежит ромб, диагонали которого относятся как 5:2. Диагонали параллелепипеда равны 17 см и 10 см. Найдите объем параллелепипеда.

Пусть диагональ равна 5x, тогда другая 2x и пусть высота параллелепипеда равна h, тогда      h^2+(5x)^2=(17)^2 и     h^2+(2x)^2=(10)^2   h^2+25x^2=289 h^2+4x^2=100 С первого уравнения вычтем второе 21x^2=189 => x^2=9 => x=3 То есть диагонали равны            5x=5*3=15            2x=2*3=6 Sосн=d1*d2/2=15*6/2=45   Найдем высоту параллелепипеда     h^2=l^2=(d1)^2     h^2 =100-36=64     h=8   V= Sосн*h=45*8=360

Можно просто в лоб решать, составить уравнение для высоты п-да (оно же - боковое ребро) (17^2 - h^2)/(10^2 - h^2) = 5^2/2^2; откуда h^2 = (50^2 - 34^2)/(5^2 - 2^2) = 64; h = 8; d1^2 = 17^2 - h^2 = 225; d1 = 15; d2 = 10^2 - h^2 = 36; d2 = 6; V = 15*6*8/2 = 360;   А есть "хулиганское" решение :)) Среди уже первых Пифагоровых троек находим 2 с гипотенузами 10 и 17, и одинаковым катетом 8. Это (6, 8, 10) и (8, 15, 17). Легко видеть, что третьи члены этих троек - 6 и 15, относятся, как 6/15 = 2/5....... :)))))) Отсюда V = 15*6*8/2 = 360 :)))))