В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 5, 4 и 3. Найд...
В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 5, 4 и 3. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
;Желательно не только ответ,но и решение
Гость
Ответ(ы) на вопрос:
Гость
[latex] OH \perp AC , \ OH=3 \\ OE \perp AD , \ AD=4 [/latex] , заметим что [latex]OH= r [/latex] радиус вписанной окружности , так как [latex]AO[/latex] это биссектриса угла [latex] BAC[/latex] , [latex] AH = \sqrt{AO^2-OH^2} = \sqrt{5^2-3^2}=4[/latex] , найдя [latex] \angle BAC = 2OAH = 2 arcsin(\dfrac{3}{5})[/latex] , треугольники [latex] AOH , AOE[/latex] равны по общей гипотенузе и катетам [latex] OE= AH = 4 [/latex] значит [latex] \angle HOA = \angle AOE[/latex] ( вписанная равнобедренная трапеция [latex] AOHE[/latex]) , получаем
[latex] \angle CAD = \angle BCA = \angle OAE - \angle OAH = arcsin(\dfrac{4}{5} ) - arcsin(\dfrac{3}{5}) [/latex] или [latex] \angle BCA = 2arcsin( \dfrac{4}{5})-90^{\circ} [/latex] , положим что [latex]F[/latex] точка касания вписанной окружности со стороной [latex] AB[/latex] , найдем
[latex] CH = 3 \cdot ctg( \dfrac{\angle BCA}{2}) = 3 \cdot ctg(arcsin(\dfrac{4}{5}) - 45^{\circ}) = 3 \cdot 7 = 21 \\ FB = 3 \cdot ctg(\dfrac{90^{\circ}-arcsin(\dfrac{4}{5})}{2}) = 3 \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2} [/latex]
Тогда
[latex] AB = AF+FB = 4+\dfrac{3}{2} = \dfrac{11}{2} \\ AC = AH + CH = 4+21 = 25 \\ BC= CH + BF = 21+\dfrac{3}{2} = \dfrac{45}{2} \\ S_{ABCD} = 2S_{ABC} = AB \cdot AC \cdot sin \angle BAC = \dfrac{275}{2 } \cdot sin(2arcsin\dfrac{3}{5}) = \\ \dfrac{275}{2} \cdot 2 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{4}{5} = 132[/latex]
Не нашли ответ?
Похожие вопросы