В правильном тетраэдре ABCD точка Е-середина ребра BD, K-середина ребра AB. Найдите угол между прямой KE и плоскостью ABC.

Ответ: 60 градусов. Во вложении объяснение. 

Пусть в правильном тетраэдре ABCD основание - АВС, вершина Д. Точка О - центр основания (точка пересечения медиан). Примем величину рёбер за "а". Отрезок КЕ - средняя линия боковой грани АДВ, поэтому он параллелен ребру АД и, поэтому, имеет одинаковый угол наклона к грани АВС. Высота ДО правильного тетраэдра равна а√2/√3. Проекция АО ребра АД на АВС - это (2/3) медианы (и высоты) основания: АО = (2/3)*а*cos30 = (2/3)*a*(√3/2) = a√3/3. Тангенс угла наклона ребра АД к АВС = ДО/АО = ( а√2/√3) / (a√3/3) = √2. Ответ: угол между прямой KE и плоскостью ABC равен arc tg(√2) = = arc tg( 1.414214) =  0.955317 радиан = 54.73561°.