В прямом параллелепипеде ABCD A1B1C1D1 диагонали BD1 и A1C взаимно перпендикулярны и равны 6 см и 8 см, AB=3см.Найдите объём параллелепипеда. Можно пожалуйста с развёрнутым решением.

Обозначим  неизвестные стороны параллелепипеда: АА1 = х, АД  = у. Если диагонали BD1 и A1C взаимно перпендикулярны, то они определяют фигуру - ромб. Диагональ боковой грани А1В - это гипотенуза в треугольнике А1ОВ и равна √(3²+4²) = 5 см. В свою очередь А1В =√(3²+х²). Приравняем √(3²+х²) = 5    3²+х² = 25    х² = 25-9 = 16     х = 4 см. В ромбе А1ВСД1 сторона А1В равна ребру параллелепипеда А1Д1 и равна 5 см. Диагональ основания ВД = √(ВД1²-х²) = √(36-16) = √20 = 2√5 =  4.472136 Площадь основания равна двум площадям треугольника АВД, которую определяем по формуле Герона: So =2√(р(р-a)(p-b)(p-c)) =2*6.6332 =  13.2665 см², здесь  р =  6.236068 см,  a = 3 cм, в = 5 см, с =  4.472136 см. Тогда объём параллелепипеда V = So*x = 13,2665*4 =  53.066 cм³.