В прямоугольнике АВСD   точка К делит диагональ ВD  в отношении 2:1, считая от вершины В. Точка Е – середина стороны СD. Используя метод координат, докажите, что точка К принадлежит отрезку АЕ и делит его в отношении 1:2.

РЕШЕНИЕ сделаем построение по условию AB = BC , так как ABCD -квадрат Точка M делит сторону BC в отношении 1:2 -можно считать ,  что сторона ВС состоит из 3-х равных частей. Точка E делит сторону AB в отношении 1:3 - можно считать ,  что сторона АВ состоит из 4-х равных частей. Прямая CE пересекает стороны AM и MD треугольника AMD в точках К и L соответственно. Дополнительное построение :  обозначим точку М1 - середина отрезка MC , тогда BM=MM1=M1C проведем через точки М, М1 прямые m, m1 параллельные прямой CE  по теореме Фалеса : параллельные прямые m,m1,CE отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки на стороне ВС : BM=MM1=M1C , значит на стороне BE тоже три равные части  обозначим для простоты -x. так как сторона АВ состоит из 4-х равных частей, то любая часть может быть  представлена в виде 3х , тогда BE=3x, тогда ЕА=9х, тогда отношение 1 : 3 = 3х : 9х = 3 : 9 рассмотрим угол снова теорема Фалеса, снова параллельные прямые m,m1,CE , снова  пропорциональные отрезки на сторонах угла MK : KA = 2x : 9x = 2 : 9 <-----это сторона АМ треугольника AMD Дополнительное построение :  проведем прямую DM до пересечения с прямой АВ - точка Р проведем прямую DN параллельную прямой CE  прямая DN отсекает на прямой АВ отрезок AN  CE || DN , EN || CD NECD - параллелограмм , так как противоположные стороны попарно параллельны следовательно BE=AN , тогда BE : EN = 1 : 4 т. е. отрезок BN состоит из 5-и равных частей. тогда BE=3x, тогда ЕN=12х, тогда отношение 1 : 4 = 3х : 12х = 3 : 12 рассмотрим угол снова теорема Фалеса, снова параллельные прямые m,m1,CE,DN , снова  пропорциональные отрезки на сторонах угла ML : LD = 2x : 12x = 2 : 12 = 1 : 6 <-----это сторона МD треугольника AMD ОТВЕТ для стороны АМ отношение 2 : 9 для стороны МD отношение 1 : 6