В прямоугольном треугольнике АВС из вершины С прямого угла проведена высота СК. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники АВС, АСК и ВСК, равны соответственно г, г1 и г2. Найдите длину высоты СК.

Положим что [latex] ABC=a[/latex]   [latex]AC=x\\ BC=y\\ CK=z\\[/latex] Тогда из соответственных прямоугольных треугольников, получим  [latex]y=\frac{z}{sina}\\ x=\frac{z}{cosa}[/latex]       [latex] y=\frac{KB}{cosa}\\ x=\frac{AK}{sina} [/latex]              [latex]AK=x*sina \\ KB=y*cosa [/latex] откуда  [latex]AK=z*tga\\ KB=z*ctga [/latex] По формуле [latex]r=\frac{x+y-c}{2}[/latex] где [latex] c[/latex]      гипотенуза , из соответствующих прямоугольных треугольников   [latex]z+z*tga-\frac{z}{cosa}=2r_{1}\\ z+z*ctga-\frac{z}{sina}=2r_{2}\\ \frac{z}{sina}+\frac{z}{cosa} - \sqrt{\frac{z^2}{sin^2a}+\frac{z^2}{cos^2a}}=2r \\\\ [/latex] Откуда  [latex]z=\frac{2r_{1}}{tga-seca+1}\\ z=\frac{2r_{2}}{ctga-csca+1}\\ z=r(sina+cosa+1)\\\\ [/latex]  [latex]z=r(sin(arctg(\frac{r_{1}}{r_{2}})+cos(arctg(\frac{r_{1}}{r_{2}}))+1) \\\\ CK=r(\frac{\frac{ r_{1}+r_{2}}{r_{2}}}{ \sqrt{\frac{r_{1}^2}{r_{2}^2}+1}}+1 })\\ [/latex]