В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна a, а биссектриса одного из острых углов равна а/корень из. 3 Найдите катеты.

Пусть катеты x и y, и биссектриса угла между гипотенузой длины a и катетом x равна a/√3; Тогда отрезки второго катета равны y*x/(x + a) и y*a/(x + a); и (y*x/(x + a))^2 + x^2 = a^2/3; x^2*(a^2 - x^2) + x^2*(x + a)^2 = a^2*(x + a)^2/3; что легко приводится к виду (x/a)^2 - (1/6)*x/a -1/6 = 0; (для начала надо сократить на (x + a) ); x/a = 1/2; то есть это треугольник с углом 60°; y/a = √3/2;

Пусть 1/2(∠А)=в, тогда ∠АДВ=∠АСД+в-внешний угол треугольникаАСД ∠В=90-2в(сумма острых углов прям тр-ка АВС равна 90 По теореме синусов (для тр-каАДВ) АВ/sin(∠ADB)=AD/sinB a/sin(90+b)=(a/√3)/sin(90-2b) a/cosb=a/(√3 cos2b); b-бэтта √3acos2b=acosb    :a √3cos2b=cosb √3(2cos^2 b-1)-cosb=0 2√3cos^2 b-cosb-√3=0 cosb=x; 2√3x^2-x-√3=0              D=1+8*(√3)^2=1+24=25=5^2;x=(1+-5)/(4√3)               x=6/4 )/√3=(3√3)/(2*√3*√3)=√3/2               x=-4/(4√3)=-1/√3-посторонний, угол острый и cosb>0 cosb=√3/2; b=30grad тогда ∠А=2*30=60град; ∠В=90-60=30град Катет АС против угла в 30 градусов, АС=1/2АВ; АС=а/2 BC^2=a^2-(a/2)^2(по теореме Пифагора из тр. АВС) ВС=√(a^2-a^2/4)=a√3/2 Ответ а/2; а√3/2