В прямоугольном  треугольнике  провели  высоту  из прямого   угла,эта  высота разбила гипотенузу на  2 отрезка,докажите  что  отношение   кубов  этих отрезков  равно отношению квадратов  их проекций  на   катеты:  x1^3/x2^3=x1'...

Пусть дан прямоугольный треугольник [latex]ABC[/latex] , с прямым углом [latex]C=90а[/latex] Обозначим [latex]AC=a\\ BC=b\\ [/latex] [latex]AB=\sqrt{a^2+b^2}[/latex].    Проведем высоту [latex]CH[/latex] , опустим из точки [latex]H[/latex] перпендикуляры [latex]HA_{1};HB_{1}[/latex] , на [latex]a;b[/latex]  соответственно.  Тогда высота [latex]CH=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}[/latex].  Найдем [latex]x_{1};x_{2}[/latex]   Из прямоугольных треугольников образовавшиеся при проведении высоты [latex]CH[/latex], по теореме Пифагора    получим  [latex]x_{1}=\sqrt{a^2-(\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}})^2}=\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ x_{2}=\sqrt{b^2-(\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}})^2}=\frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}\\[/latex]  Найдем  [latex]x'_{1};x'_{2}[/latex]   Так же [latex]A_{1}H;B_{1}H[/latex] высоты меньших прямоугольных треугольников   [latex]A_{1}H=\frac{\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}*\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}}{a}=\frac{a^2b}{a^2+b^2}\\ B_{1}H=\frac{\frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}*\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}}{b}=\frac{b^2a}{a^2+b^2}\\\\\\ x_{1}'=\sqrt{\frac{a^4}{a^2+b^2}-\frac{a^4b^2}{(a^2+b^2)^2}}=\frac{a^3}{a^2+b^2}\\ x_{2}'=\sqrt{\frac{b^4}{a^2+b^2}-\frac{b^4a^2}{(a^2+b^2)^2}}=\frac{b^3}{a^2+b^2}\\\\ \frac{x_{1}^3}{x_{2}^3}=\frac{a^6}{b^6}\\\\ \frac{x_{1}'^3}{x_{2}'^3}=\frac{a^6}{b^6}[/latex]