В прямоугольный треугольник вписан квадрат,один из углов которого совпадает с прямым углом треугольника.Сумма длин катетов треугольника равна a,а их произведение равно b.Найдите длину стороны квадрата.

Обозначим АВ - х, ВС - у, сторона квадрата - к. Треугольник АВС подобен треугольнику ДЕС ⇒ х/к=у/(у-к); к=х*у/(х+у); по условию х+у=а, х*у=в; к=в/а.

Дано: Δ АВС ∠ВАС = 90⁰ АВ + АС = а АВ ∙ АС  =  в к - сторона квадрата, вписанного в ΔАВС ∠ВАС - общий _____________________ Найти:       к Решение. Площадь (S) ΔАВС = S₁ +S₂ +Sк;   S = в/2;  Sк = к²;   S₁ = кх/2;  S₂ = ку/2;  S₁+S₂ = (к/2)(х+у) ;   АВ+АС = а = х+к+к+у = 2к+(х+у);  (х+у) = а - 2к; S₁+S₂ = (к/2)(х+у) = (к/2)(а-2к);    в/2 =(к/2)(а-2к) + к²;   в/2 = ак/2 – к²+к²;   в/2 = ак/2;         к = в/а Ответ:  Сторона квадрата, вписанного в прямоугольный треугольник равна произведению длин катетов, деленному на их сумму.