В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) медиана AD пересекает биссектрису CK в точке O, при этом AD ⊥ CK. Найти отношение : S_OKBD:S_ABC .

Т.к. СО⊥AD и СО биссектриса, ΔADC равнобедренный, AC = CD = DB = a. Sabc = 1/2 AC·CB·sin∠C = 1/2 a·2a·sin∠C = a²·sin∠C Sadc = 1/2 AC·CD·sin∠C = 1/2 a²·sin∠C Scod = 1/2 Sadc = 1/4 a²·sin∠C = 1/4 Sabc Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам: BK / AK = BC / AC = 2a / a = 2 / 1 ΔBCK и ΔACK имеют одинаковую высоту, проведенную к сторонам BK и AK, поэтому их площади относятся как длины этих отрезков: Sbck / Sack = 2 / 1  ⇒Sbck = 2/3 Sabc Sokbd = Sbck - Scod = 2/3 Sabc - 1/4 Sabc = 5/12 Sabc Sokbd / Sabc = 5/12