В равнобедренном треугольнике ABC точка D -середина основания AC.На лучах AB и CB вне треугольника ABC отмечены точки  M и N соответственно так, что BM=BN. Докажите,что треугольник BDM = треугольнику BDN

Ваши последние треугольники равны по одному из признаков равенства треугольников: если две стороны и угол между ними одного треугольника, равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Вам дано: равнобедренный треугольник, где отрезок ВD будет являться биссектрисой (по теореме), а значит, угол В делится на два равных угла.   Поэтому у Ваших треугольников выполняется соответствуещее равенство (2 стороны и угол между ними), а именно: сторона BD - общая стороны ВМ и BN  равны по условию и угол В, разделенный пополам биссектрисой, лежит как раз между этими сторонами.