В равнобедренную трапецию,периметр которой равен 200,а пплощадь равна 2000,можно вписать окружность.Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания Как можно быстрее(30б)

Решение: SABCD=EF*(AD+BC)/2=2000 PABCD=AB+BC+CD+AD=200 AB=CD (так как трапеция равнобедренная). Чтобы окружность можно было вписать в трапецию должно выполняться условие - суммы противоположных сторон трапеции должны быть равны, т.е. AD+BC=AB+CD AD+BC=2AB (т.к. AB=CD) Тогда: PABCD=AB+BC+CD+AD=AB+2AB+AB=4AB=200 AB=50 Значит, AD+BC=2*50=100 SABCD=EF*(AD+BC)/2=EF*100/2=EF*50=2000 EF=40 Проведем высоту BH, как показано на рисунке. BH=EF=40, так как BEFH - прямоугольник. AH=(AD-BC)/2 По теореме Пифагора: AB2=BH2+AH2 502=402+AH2 2500=1600+AH2 900=AH2 30=AH=(AD-BC)/2 60=AD-BC, вспомним, что AD+BC=100 60=AD-(100-AD) 60=AD-100+AD 160=2AD AD=80 Тогда BC=100-80=20 Рассмотрим треугольники AKF и CKE AF=AD/2=40 CE=BC/2=10 ∠AFK=∠CEK=90° ∠AKF=∠CKE (т.к. они вертикальные) По первому признаку подобия треугольников, данные треугольники подобны. Тогда, AF/CE=KF/KE 40/10=KF/KE 4=(EF-KE)/KE (вспомним, что EF=40) 4KE=40-KE 5KE=40 KE=8 Ответ: KE=8