В тетраэдре abcd ребро ad имеет длину 5, а все остальные ребра равны 4. а) Докажите, что прямы ad и bc перпендикулярны. б) Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью, содержащей прямую ad и перпендикулярной bc.

а) Перпендикуляр из B на AD попадает в середину E отрезка AD (следует из равнобедренности треугольника ABD). По той же причине перпендикуляр из C на AD попадает в ту же точку E. Значит, вся прямая BC лежит в плоскости, перпендикулярной AD⇒ BC⊥AD.  б) Опуская перпендикуляры из A и D на BC, оба раза попадаем в середину F отрезка BC, поскольку треугольники BAC и BDC равнобедренные (даже равносторонние).  Значит, BC⊥плоскости AFD, то есть AFD - искомая плоскость. AF=DF=5√3/2; AD=4. Найдя с помощью теоремы Пифагора высоту этого треугольника, опущенную из вершины F (H^2=(5√3/2)^2-2^2=59/4; H=(√59)/2; находим и площадь S=(1/2)·4·(√59)/2=√59