В трапеции ABCD меньшая диагональ BD, равна 5, перпендикулярна основаниям AD и BC, сумма острых углов А и С равна 90 градусов. Найдите длину меньшего основания трапеции, если большая диагональ равна 13. 

Обозначим точку пересечения диагоналей  [latex]O[/latex] ,  треугольники [latex]BOC;AOD[/latex] подобны .  Так же   [latex]ABD;DCB[/latex]  откуда получаем  [latex]\frac{BC}{5} = \frac{5}{AD}\\ BC*AD=25[/latex].  Положим что [latex]OC=x;OB=y[/latex]  получаем  [latex] \frac{x}{13-x}=\frac{y}{5-y} [/latex] .   Так как угол  [latex]DBC=90а\\ BDA=90а[/latex] , по теореме Пифагора  получаем  [latex]y^2+BC^2=x^2\\ (5-y)^2+AD^2=(13-x)^2[/latex]. Получаем систему уравнения        [latex]5x=13y\\ AD=\frac{25}{BC}\\\\ BC^2+\frac{25x^2}{169}=x^2\\ (5-\frac{5x}{13})^2+\frac{625}{BC^2}=(13-x)^2\\\\ [/latex] подставляя во второе получаем что  [latex]BC=6+\sqrt{11}>0[/latex]  это меньшее основание