В треугольник АВС вписана окружность радиуса 2. Она касается стороны АС в точке Е, причём АЕ = 4, ЕС = 6. Найти площадь треугольника АВС.

[latex]1) [/latex] Δ [latex]AEO=[/latex] Δ [latex]AKO[/latex] ( по гипотенузе и катету) [latex]OE=OK[/latex] ( как радиусы) и [latex]AO - [/latex] общая сторона Значит [latex]AE=AK=4[/latex] [latex]2) [/latex] Δ [latex]CEO=[/latex] Δ [latex]CLO[/latex]  ( по гипотенузе и катету) [latex]OL=OE[/latex] ( как радиусы) и [latex]CO - [/latex] общая сторона Значит [latex]CL=CE=6[/latex] [latex]3) [/latex] Δ [latex]BKO=[/latex] Δ [latex]BLO[/latex]  ( по гипотенузе и катету) [latex]OL=OK[/latex] ( как радиусы) и [latex]BO - [/latex] общая сторона Значит [latex]BL=BK=x[/latex] [latex]4)[/latex] С одной стороны, [latex] S=pr,[/latex] где [latex]p-[/latex] полупериметр и [latex]r-[/latex] радиус вписанной окружности С другой стороны, [latex]S= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, [/latex]  где [latex]p-[/latex] полупериметр,  [latex]a, [/latex] [latex]b,[/latex] [latex]c[/latex] -  стороны треугольника [latex]p= \frac{1}{2} (a+b+c)[/latex] [latex]p= \frac{AB+BC+AC}{2} [/latex] [latex]AB=AK+KB=4+x[/latex] [latex]BC=BL+LC=x+6[/latex] [latex]p= \frac{4+x+x+6+10}{2}= \frac{20+2x}{2} =10+x [/latex] [latex]S=2*(x+10)[/latex] [latex]S= \sqrt{(10+x)((10+x-4-x)(10+x-x-6)(10+x-10)} = [/latex][latex]\sqrt{(10+x)*6*4*x}=2 \sqrt{6x(10+x)} [/latex] [latex]2 \sqrt{6x(10+x)} =2(x+10)[/latex] [latex] \sqrt{60x+6x^2} =(x+10)[/latex] [latex]{60x+6x^2 =x^2+20x+100[/latex] [latex]5x^2+40x-100=0[/latex] [latex]x^2+8x-20=0[/latex] [latex]D=8^2-4*1*(-20)=64+80=144[/latex] [latex]x_1= \frac{-8+12}{2}=2 [/latex] [latex]x_2= \frac{-8-12}{2}=-10 [/latex]  - не подходит [latex]AB=4+2=6[/latex] [latex]BC=6+2=8[/latex] [latex]p= \frac{6+8+10}{2} =12[/latex] [latex] S_{ABC} =12*2=24[/latex] ( кв. ед) Ответ:  [latex]24[/latex]  кв. ед.