В треугольник со сторонами АВ= 5, ВС=7 и АС=6 вписан круг. точка пересечения круга со стороной АС точка Д. Найти длину ВД

т к это вписаная окружность то AD=(5+6-7)/2=2 тогда из теоремы косинусов AB^2+AC^2-2AB*AC*cos(A)=BA^2 => 25+36-60*cos(A)=49 => cos(A)=1/5 снова теорема косинусов AB^2+AD^2-2AB*AD*cos(A)=BD^2 подставляем все значения и cos(A)=1/5 тоже 25+4-2*10/5=25 => BD=5

Пусть точки Е F  будут точки касания окружности с сторонами , так как касательные проведенные с одной точки равны, в нашем случае AE=AD ; EB=BF ; EC=DC. Переобозначим их как x, z,y .  AB=x+z=5 BC=z+y=7 AC=x+y=6 решим систему  {x+z=5 {z+y=7 {x+y=6 {x=5-z {z+y=7 {5-z+y=6 {z+y=7 {y-z=1 {z=7-y {y-7+y=1 {2y=8 {y=4 {z=3 {x=2 Мы узнали длин до точек касания , теперь найдем по теореме  косинусов сам угол ВАС.  7^2=5^2+6^2-2*5*6*cos(ABC) cosa=(49-25-36)/-60 = 1/5  Теперь нашу сторону ВД опять по теореме косинусов  BD=√(5^2+2^2-2*5*2*(1/5)) = √25 = 5 Ответ ВД  = 5