В треугольника АВС через G обозначено точку пересечения медиан; через r, r1, r2, r3 - радиусы кругов, вписанных в треугольники ABC, GAB, GBC, GAC, соответственно; p - полупериметр треугольника АBC.[latex] \frac{1}{r_1}+ \frac{1...

Пусть [latex]a,\,b,\,c,\,m_a,\,m_b,\, m_c[/latex] - длины сторон и медиан треугольника ABC, [latex]S_{ABC}=S.[/latex]Воспользовавшись формулу [latex]S=pr[/latex] и то, что [latex]S_{GBC}=S_{GAB}=S_{GAC}= \frac{S}{3} [/latex], получаем, что нужно доказать неравенство.     Подставив вместо р и r, получим [latex] \frac{3a+2(m_b+m_c)}{2S} + \frac{3b+2(m_a+m_b)}{2S} + \frac{3c+2(m_a+m_b)}{2S} \geq \frac{3(a+b+c)}{2S} + \frac{36}{a+b+c} [/latex] Упрощать здесь не буду, но напишу упрощенный [latex] \frac{m_a+m_b+m_c}{S} \geq \frac{6S}{a+b+c} [/latex] Или имеем такое равенство: [latex] \frac{m_a}{3} + \frac{m_b}{3}+ \frac{m_c}{3} \geq \frac{6S}{a+b+c} [/latex] Пусть [latex]d_a,\, d_b,\, d_c-[/latex]расстояния от точки G к сторонам a, b, c треугольника АВС. Очевидно, что [latex]d_a \leq \frac{m_a}{3} ,\,d_b \leq \frac{m_b}{3} ,\, d_c= \frac{m_c}{3} [/latex] Также имеем[latex]d_a= \frac{2S_{GBC}}{a} = \frac{2S}{3a} [/latex]. Аналогично, [latex]d_b= \frac{2S}{3b} ,\,\, d_c= \frac{2S}{3c} [/latex] Достаточно доказать неравентсво [latex] \frac{2S}{3a} + \frac{2S}{3b}+ \frac{2S}{3c} \geq \frac{6S}{a+b+c} [/latex], которое равносильна неравенству, что выражает отношение между средним арифметическим и средним гармоническим 3 положительных чисел:         [latex] \frac{a+b+c}{3} \geq \frac{3}{ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} } [/latex]