В тре­уголь­ни­ке ABC бис­сек­три­са BE и ме­ди­а­на AD пер­пен­ди­ку­ляр­ны и имеют оди­на­ко­вую длину, рав­ную 208. Най­ди­те сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка ABC.

проще простого.  Рассмотрим треугольник ABD. BO перпендикулярен AD (по условию задачи), т.е. ∠BOD=∠BOA=90°. ∠ABO=∠DBO (т.к. BE - биссектриса). Получается, что треугольники ABO и DBO равны (по второму признаку равенства треугольников). Следовательно, AB=BD. Т.е. треугольник ABD - равнобедренный. BO - биссектриса этого треугольника, следовательно и медиана, и высота (по третьему свойству равнобедренного треугольника). Следовательно, AO=OD=AD/2=208/2=104. Проведем отрезок ED и рассмотрим треугольник BEC. ED - медиана этого треугольника, так как делит сторону BC пополам. Площади треугольников EDC и EDB равны (по второму свойству медианы). SEDC=SEDB=(BE*OD)/2=(208*104)/2=104*104=10816 SABE=(BE*AO)/2=(208*104)/2=10816 Т.е. SABE=SEDC=SEDB=10816 Тогда, SABС=3*10816=32448 AD - медиана треугольника ABC (по условию), следовательно делит треугольник на два равных по площади треугольника ABD и ACD (повторому свойству медианы). SABD=(AD*BO)/2=SABC/2 (208*BO)/2=32448/2 BO=32448/208=156 Рассмотрим треугольник ABO, он прямоугольный, тогда применим теорему Пифагора: AB2=BO2+AO2 AB2=1562+1042 AB2=24336+10816=35152 AB=√35152=√16*2197=√16*13*169=4*13*√13=52√13 BC=2AB=2*52√13=104√13 Рассмотрим треугольник AOE. OE=BE-BO=208-156=52 Так как этот треугольник тоже прямоугольный, то можно применить теорему Пифагора: AE2=AO2+OE2 AE2=1042+522=10816+2704=13520 AE=√13520=√4*4*5*169=2*2*13*√5=52√5 Так как BE - биссектриса, то используя ее первое свойство запишем: BC/AB=CE/AE 104√13/52√13=CE/(52√5) 2=CE/(52√5) CE=104√5 AC=AE+CE=52√5+104√5=156√5 Ответ: AB=52√13, BC=104√13, AC=156√5