В треугольнике abc на стороне ав взяты точки m и n, а на сторонах bc и ac взяты точки P и q так что четырехугольник mnpq zskztncz параллелограммом, площадь которого составляет 4/9 площади треугольника abc, найдите длину cтороны...

Можно конечно эту задачу решить , через коэффициент подобия как то. Но можно еще так поступить . Пусть наш треугольник [latex]ABC[/latex] , и точки [latex] M,N[/latex] на стороне  [latex]AC[/latex]  , и точки  [latex]Q,P[/latex] на сторонах  [latex]AB,BC[/latex] соответственно .   Тогда очевидно что треугольники [latex]BPQ[/latex] и [latex]ABC[/latex]  подобны друг другу. Так как [latex]PQ||MN[/latex] ,  выведем некие следствия из подобия:   [latex] \frac{QP}{AB}=\frac{QC}{AC}=\frac{CP}{BC}[/latex]  , или же это соотношение можно записать так , выражая отрезки   [latex]\frac{QP}{AB}=\frac{CQ}{AQ+CQ}\\ \frac{QP}{AB}=\frac{CP}{CP+BP}\\ [/latex] Теперь выразим стороны [latex]PQ,AB[/latex]  по теореме косинусов  [latex]CQ^2+CP^2-2*CQ*CP*cosC=1^2\\ AC^2+BC^2-2AC*BC*cosC=AB^2[/latex] выражая с них  [latex]cosC[/latex]  и приравнивая получим: [latex]\frac{(AM+NB+1)^2-(AQ+CQ)^2-(CP+PB)^2}{(AQ+CQ)(CP+BP)}=\frac{1-CQ^2-CP^2}{CQ*CP} [/latex] сделаем замену для простоты и преобразуем эту часть [latex]AQ=x\\ QC=y\\ CP=z\\ BP=w\\ AM=g\\ NB=h \\ \frac{(g+h+1)^2-(x+y)^2-(z+w)^2}{(x+y)(z+w)}=\frac{1-y^2-z^2}{yz}\\ \frac{y}{x+y}=\frac{z}{z+w}\\ wy=zx\\ y=\frac{zx}{w}[/latex] Теперь подставим в начальное выражение  [latex]\frac{(g+h+1)^2-(x+\frac{zx}{w})^2-(z+w)^2}{(x+\frac{zx}{w})(z+w)}-\frac{(1-\frac{zx}{w})^2-z^2}{\frac{z^2x}{w}}=0[/latex] теперь разложим на множители , и затем приравнивая к 0 каждый многочлен получим  [latex]hz+gz-w=0\\ hz+gz+2z+w=0 [/latex] второй не подходит  [latex]hz+gz=w\\ h+g=\frac{w}{z}\\ AM+NB=\frac{BP}{CP} [/latex]   в дальнейшем это соотношение понадобится  Теперь подставим еще раз в самое начальное выражение получим   [latex](\frac{w}{z}+1)^2+(x+y)^2-(z+w)^2}{(x+y)(z+w)}-\frac{1-y^2-z^2}{yz}=0\\ z^3+wz^2-y^2z-xyz-z-w=0\\ z^3+wz^2-(\frac{zx}{w})^2*z-x*\frac{zx}{w}*z-z-w = 0\\ x^2z^2-w^2z^2+w^2=0\\ x^2z^2=w^2(z^2-1)\\ [/latex] Теперь заметим соотношение [latex]\frac{xz}{w}=y\\ [/latex] тогда  [latex]y^2=z^2-1\\ y^2+1=z^2[/latex] то есть  треугольник выходит прямоугольный при наличии именно определенного соотношения!  Тогда  [latex]CQP=90а[/latex]    тогда и [latex]CAB=90а[/latex]                                          Найдем угол C  [latex]CP=\frac{QP}{sinC}\\ sinC=\frac{1}{CP}\\ QP=1\\ cosP=\frac{1}{CP}[/latex] Теперь так как сам треугольник прямоугольный , то высота параллелограмма  [latex]MNPQ[/latex] будет сторона [latex]AQ[/latex], а так как площадь  параллелограмма равна основание на высоту опущенную на нее, то  площадь параллелограмма равна [latex]S_{MNPK}=AQ*1=AQ[/latex], и она равна  [latex]AQ=\frac{4S}{9}[/latex]  площадь прямоугольного треугольника АВС равна  [latex] \frac{AB*AC}{2}=\frac{9AQ}{4}\\ AB*AC=\frac{9AQ}{2}\\ (AQ+QC)(1+\frac{BP}{CP})=\frac{9AQ}{2}\\ [/latex] , но так как [latex]\frac{BP}{CP}=\frac{AQ}{CQ}[/latex] то   [latex]\frac{9AQ}{2}=(AQ+CQ)(1+\frac{AQ}{CQ})\\ [/latex]  с него следует  [latex]AQ=\frac{CQ}{2}\\ [/latex] . Тогда  [latex] 2AQ=CQ\\ CQ+\frac{CQ}{2}=\frac{3CQ}{2}=AC\\ \frac{CQ}{\frac{3CQ}{2}}=\frac{2}{3}[/latex] , то есть коэффициент подобия     равен [latex] \frac{2}{3}<1[/latex] верно ! тогда [latex]\frac{1}{AB}=\frac{2}{3}\\ AB=1.5[/latex]