В треугольнике АВС АВ=3, ВС=5. BM - медиана, BK - биссектриса. Прямая ВТ симметрична BM относительно BK, причем T лежит на стороне АС. Чему равно отношение АТ:СТ?

Чертеж - во вложении. ВМ - медиана Δ АВС ⇒ АМ=СМ. ВК - биссектриса Δ АВС ⇒ АК:КС=3:5. Прямая ВТ симметрична BM относительно BK ⇒ КТ=МТ. Пусть КТ=МТ=х, АТ=у, тогда МС=АМ=2х+у [latex] \frac{AK}{KC} = \frac{x+y}{3x+y} = \frac{3}{5}[/latex] 5x+5y=9x+3y 2y=4x y=2x ⇒ T - середина АМ ⇒ AT=TM=2x, MC=2x+2x=4x. ⇒ TC =TM+MC = 2x+4x=6x [latex] \frac{AT}{TC} = \frac{2x}{6x}= \frac{1}{3} [/latex] Ответ: 1:3.