В треугольнике со сторонами 12, 15 и 18 построена окружность, центр которой лежит на большей стороне, и она касается двух других сторон треугольника. Найдите длины отрезков, на которые центр окружности делит большую сторону. В ...

Решение: Опустим радиусы окружности  (смотри рисунок)  Тогда Получим треугольники  [latex]AOB \ \ BOC[/latex] У них высоты будут радиусами этой окружности , найдем площадь треугольник [latex]ABC[/latex] По формуле Герона получим    [latex] p=\frac{18+15+12}{2}=\frac{45}{2}\\ S=\sqrt{\frac{45}{2}(\frac{45}{2}-18)(\frac{45}{2}-15)(\frac{45}{2}-12)} = \frac{135\sqrt{7}}{4}\\ [/latex] Теперь площадь треугольника  [latex]S_{AOB}=\frac{r*12}{2}=6r\\ S_{BOC}=\frac{r*15}{2}=7.5r\\ S_{ABC} = S_{AOB}+S_{BOC}=13.5r\\ 13.5r=\frac{135\sqrt{7}}{4}\\ r=\frac{5\sqrt{7}}{2}\\ [/latex] Теперь из Прямоугольного треугольника AKO. получаем  AO=[latex]\frac{\frac{5\sqrt{7}}{2}}{\frac{5\sqrt{7}}{16}}=8\\ [/latex] Из Прямоугольного треугольника OMC  [latex]OC=\frac{\frac{5\sqrt{7}}{2}}{\frac{\sqrt{7}}{4}}=10[/latex] То есть наибольший 10