В тропеции ABCD точка P расположена на пересечении биссектрис C и D, докажите что точка P равноудалена от прямых BC, AD, CD.

В трапеции АВСД биссектрисы углов С и Д пересекаются в точке Р.  Проведём перпендикуляры РК, РН и РМ к сторонам ВС, СД и АД соответственно. Треугольники КРС и НРС равны, так как ∠КСР=∠НСР, оба прямоугольные и сторона СР - общая, значит КР=НР.  Аналогично доказывается равенство тр-ков НРД и МРД. В них МР=НР. Доказано,что КР=НР=МР, задача решена.

Вариант решения.  Центр вписанной в угол окружности лежит на его биссектрисе.  Центром вписанной в угол С и угол D  окружности будет точка пересечения их биссектрис.  Расстоянием от Р до прямых ВС, AD и CD будет длина перпендикуляра из Р до данных прямых, т.е. радиус этой окружности, а его величина постоянна. Следовательно, точка Р - равноудалена от прямых CD, AD, CD.