В цилиндр вписана правильная треугольная призма. Площадь боковой поверхности призмы равна 5. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Поскольку призма вписана в цилиндр то высоты обоих H одинаковы. Т. к. призма правильная, то площадь ее поверхности равна: [latex]S_{p} = 3aH \\[/latex] Далее площадь поверхности цилиндра равна: [latex]S_{c} = 2 \pi RH[/latex] Поскольку у обоих одинаковые высоты, то мы можем приравнять их сначала выразив высоты обоих.: [latex]H_{1} = \frac{S_{c}}{2 \pi R} \\ H_{2} = \frac{S_{p}}{3a}[/latex] Теперь приравняем их: [latex] \frac{S_{c}}{2 \pi R} = \frac{S_{p}}{3a}[/latex] Далее для описанной окружности около треугольника (основая призмы) с радиусом R, длина стороны равна: [latex]a = \frac{3R}{\sqrt{3}}[/latex] Теперь мы можем подставить это вместо "a" в нашем равенстве:  [latex]\frac{S_{c}}{2 \pi R} = \frac{S_{p}}{3*\frac{3R}{\sqrt{3}}} \\ \frac{S_{c}}{2 \pi R} = \frac{S_{p}*\sqrt{3}}{9R} \\ \frac{S_{c}}{2 \pi R} = \frac{5\sqrt{3}}{9R} \\ \frac{S_{c}}{2 \pi} = \frac{5\sqrt{3}}{9} \\ S_{c} = \frac{10 \pi\sqrt{3}}{9}[/latex] Решал быстро, возможны ошибки :)