В цилиндр вписана правильная треугольная призма. Площадь боковой поверхности призмы равна 5. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
В цилиндр вписана правильная треугольная призма. Площадь боковой поверхности призмы равна 5. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Ответ(ы) на вопрос:
Поскольку призма вписана в цилиндр то высоты обоих H одинаковы. Т. к. призма правильная, то площадь ее поверхности равна:
[latex]S_{p} = 3aH \\[/latex]
Далее площадь поверхности цилиндра равна:
[latex]S_{c} = 2 \pi RH[/latex]
Поскольку у обоих одинаковые высоты, то мы можем приравнять их сначала выразив высоты обоих.:
[latex]H_{1} = \frac{S_{c}}{2 \pi R} \\ H_{2} = \frac{S_{p}}{3a}[/latex]
Теперь приравняем их:
[latex] \frac{S_{c}}{2 \pi R} = \frac{S_{p}}{3a}[/latex]
Далее для описанной окружности около треугольника (основая призмы) с радиусом R, длина стороны равна:
[latex]a = \frac{3R}{\sqrt{3}}[/latex]
Теперь мы можем подставить это вместо "a" в нашем равенстве: [latex]\frac{S_{c}}{2 \pi R} = \frac{S_{p}}{3*\frac{3R}{\sqrt{3}}} \\ \frac{S_{c}}{2 \pi R} = \frac{S_{p}*\sqrt{3}}{9R} \\ \frac{S_{c}}{2 \pi R} = \frac{5\sqrt{3}}{9R} \\ \frac{S_{c}}{2 \pi} = \frac{5\sqrt{3}}{9} \\ S_{c} = \frac{10 \pi\sqrt{3}}{9}[/latex] Решал быстро, возможны ошибки :)
Не нашли ответ?
Похожие вопросы