В выпуклом 6-угольнике все углы равны 120 градусов и 4 последовательные стороны имеют длины 4,5,5,6. Найдите площадь 6-угольника.

обозначим вершины 6-угольника, начиная со стороны, равной 4: АВ=4, ВС=CD=5, DE=6, EF и FA не заданы площадь 6-угольника можно вычислить как сумму площадей двух треугольников и трапеции... S(6) = S(BCD) + S(ABDE) + S(AEF) рассмотрим треугольник BCD: он равнобедренный, угол BCD=120 градусов, => два оставшихся угла по 30 градусов и высота, проведенная к основанию BD, = 2.5 основание BD = 2*(5cos30) = 5*V3 S(BCD) = 2.5*2.5*V3 = 6.25*V3 рассмотрим трапецию ABDE:  углы ABD и BDE равны и составляют 90 градусов (как оставшиеся части углов 6-угольника 120-30=90) S(ABDE) = ((4+6)/2) * BD = 25*V3 остался треугольник AEF с неизвестными двумя сторонами и углом 120 градусов... третью его сторону AE можно найти как боковую сторону трапеции по т.Пифагора  AE^2 = 25*3+2*2 = 79 AE = V79 и два других угла в этом треугольнике тоже можно найти... если угол AED трапеции обозначим x, то можно записать какую-нибудь триг.функцию этого угла из прямоугольного треугольника с гипотенузой AE и катетом параллельным и равным BD: sinx = 5*V3 / V79 угол FEA = 120-x угол FAE = 180-120-(120-x) = x-60 S(AEF) = AF*FE*sin(120) / 2 = AF*FE*V3/4 по т.синусов можно записать: FE/sin(x-60) = AF/sin(120-x) = AE/sin(120) = 2*V79 / V3 отсюда: FE = 2*V79*sin(x-60) / V3 AF = 2*V79*sin(120-x) / V3 S(AEF) = 79*sin(x-60)*sin(120-x) / V3 осталось произведение синусов выразить через известный sinx... cosx = корень(1-(sinx)^2) = 2 / V79 sin(x-60) = sinx*cos60 - cosx*sin60 = (sinx - V3*cosx)/2 = 3*V3 / (2*V79) sin(120-x) = sin120*cosx - cos120*sinx = (sinx + V3*cosx)/2 = 7*V3 / (2*V79) S(AEF) = 63 / (4*V3) = 21*V3 / 4 S(6) = 6.25*V3 + 25*V3 + 21*V3 / 4 = V3 * (25/4 + 25 + 21/4) = V3 * 36.5